Данные о параметрах затухания можно получить в результате двух основных типов наблюдений — над стоячими и распространяющимися волнами (библиографию и подробное освещение этой стороны вопроса см. в работе Кнонова [3]). Изучая стоячие волны (т. е. наблюдая гармоники свободных колебаний Земли), мы стремимся определить скорость затухания для разных частотных компонент, слагающих свободные колебания Земли. Амплитуда каждой данной частоты должна экспоненциально затухать во времени, т. е. как Ae-γt, где γ — коэффициент затухания. Изучая распространение волн, мы можем измерять затухание объемных и поверхностных сейсмических волн. Если исключено затухание, обусловленное геометрическим расхождением сейсмических лучей, рассеянием из-за неоднородности среды, дифракцией и т. д., то амплитуда волны должна затухать экспоненциально при удалении от источника, т. е. как Ве-αх, где α — коэффициент радиального затухания.
В указанных соотношениях А представляет собой амплитуду смещений монохроматической волны в начальный момент времени, а В — амплитуду в точке отсчета координат соответственно для двух типов наблюдений. В принципе наблюдения этих типов состоят в сопоставлении амплитуд стоячей (или распространяющейся) волны в два разных момента времени (или в двух разных пунктах). Такое сопоставление позволяет исключить из рассмотрения неизвестный нам спектральный состав источника. Отношение амплитуд в двух точках с координатами х1 и х2 равно ехр[—α(х2—х1)]; следовательно, оно не зависит от амплитуды в источнике. Таким образом, измерения для двух пунктов или двух моментов времени можно использовать для определения коэффициентов затухания α или γ независимо от свойств источника. Такая методика в принципе приемлема в той степени, в какой не происходило непосредственного уменьшения амплитуды в интервале между двумя пунктами или моментами измерений.
При наблюдении распространяющихся волн трудно измерить собственно затухание. если на своем пути они теряют заметную часть энергии, например, в связи с рассеянием или отражением у резких границ (поверхностных волн в граничной зоне континентов или объемных волн при неэффективном преломлении или отражении у границы М). Один из способов исключить влияние рассеяния, обусловленного неоднородностью среды, состоит в том, чтобы наблюдать длины волн, которые велики по сравнению с размерами встреченной ими неоднородности.
Другое затруднение, возникающее при наблюдении объемных или поверхностных волн, заключается в том, что частотные характеристики двух станций, производящих измерения, не идентичны из-за различия как приборов, так и местных геологических условий. Часто влияние собственно затухания намного меньше, чем изменения амплитуд, обусловленные различием характеристик приборов на станциях, хотя бы они и считались идентичными. Более того, при наблюдении объемных волн, как правило, нельзя быть уверенным, что оба записывающих сейсмографа находятся на пути одного и того же луча. Все эти трудности можно в принципе преодолеть, если наблюдать многократно один луч на одной и той же станции, т. е. если наблюдать одну и ту же сейсмическую фазу, которая вступает на станцию по меньшей мере дважды, пе теряя при этом энергии сигнала из-за помех на пути (если не считать собственно затухания). Это может иметь место, например, для фазы S, многократно отраженной вдоль радиуса Земли (в случае, когда станция находится прямо над очагом), и для поверхностных волн сильных землетрясений, которые несколько раз огибают Землю.
Допустим, что граница мантия — ядро и поверхность Земли идеально отражают падающую па них пормально волну S. Это значит, что мы считаем ядро почти идеальной жидкостью при интересующих нас частотах н пренебрегаем влиянием земной коры. При этих допущениях можно рассчитать коэффициент затухания для объемных волн S в мантии, пользуясь отношением амплитуд, соответствующих последовательным отражениям лучей, которые в источнике были направлены прямо вверх или вниз. Андерсон и Ковач [1] использовали для этой цели данные о глубокофокусных землетрясениях. Разность пройденного пути для двух последовательных отражений такого рода будет равна удвоепной мощности мантии. Как показали наблюдения, измеренный в этих условиях коэффициент затухания с известным приближением обратно пропорционален периоду наблюдаемых волн. Поэтому его можно записать в виде α = π/cQT = π/Qλ, где Q —безразмерный коэффициент затухания — диссипативная функция, Т — период, с —- средняя скорость, а λ — средняя длина волны. Значение Q в мантии для периодов 11—25 с составляет около 500. Если мы теперь примем, что волны, покидающие очаг в противоположных направлениях, имеют одинаковые амплитуды (допущение, согласующееся с моделью механизма очага, который не перемещается с конечной скоростью и не расположен в неоднородной среде), то появляется возможность сравнивать затухание в мантии над очагом и под ним. Для глубоких землетрясений значения Q, соответствующие верхам мантии, были равны около 160; для нижней части мантии они составляли около 1450. Таким образом, в верхней мантии волны S, по-видимому, затухают сильнее, чем в нижней.
Данные о затухании поверхностных волн интерпретировать несколько труднее, чем данные о затухании объемных волн. Глубина проникания поверхностных волн зависит от их длины. Следовательно, короткие поверхностные волны содержат информацию о затухании в верхах Земли; длинные же поверхностные волны содержат информацию о затухании как в верхах, так и на больших глубинах. Поэтому для интерпретации поверхностных волн нам нужна теория, которая описывала бы характер изменения коэффициента затухания в однородной области в глубине Земли в зависимости от частоты возникших волн. Были проведены лабораторные испытания большого числа твердых тел — металлов и неметаллов, зернистых и стекловидных пород, монокристаллов, а также полевые наблюдения над сравнительно однородными отложениями на небольших глубинах. Все они показали, что диссипативная функция Q в широком диапазоне частот, по существу, не зависит от длины волны. То обстоятельство, что отношение значений Q к частоте не зависит от величины частоты для большого числа типов твердых тел при малых частотах, позволило Кнонову и Мак-Дональду [4, 5] прийти к выводу о нелинейном характере физического механизма, лежащего в основе этого тина потерь энергии. Независимо от этого вывода сам факт, что Q, или отношение коэффициента затухания к частоте, не зависит от ее значения, может быть использован при интерпретации данных о затухании поверхностных волн. Можно показать, что если исходить из этого, то данные о затухании поверхностных волн приводят к таким значениям коэффициента затухания для волн S, которые согласуются со значениями, полученными Андерсоном и Ковачем.
Если рассматривать коэффициент затухания как мнимую часть комплексного волнового числа и если принять, что затухание мало, то коэффициент затухания можно представить в виде малых мнимых возмущений, наложенных на действительное волновое число. Так как действительное волновое число существенно зависит от фазовой скорости при данной частоте, то этп возмущения можно получить, пользуясь разложением в ряд Тейлора для малого затухания. Поэтому при интерпретации мы должны ввести ряд частных производных фазовой скорости но каждому из интерпретируемых параметров. Общий анализ этой задачи приводится у Кнонова [3]. При этом затухание определяется как функция глубины в ходе решения системы уравнений. Элементы матрицы этой системы, отражающие связь между наблюдаемыми значениями затухания как функции частоты и значениями Q как функции глубины, представляют частные производные фазовой скорости по упругим параметрам среды. В настоящее время это решение дает немногое. Однако в общем для нижней мантии получаются высокие значения Q, а для верхней — низкие, что полностью согласуется с данными по объемным волнам. Кроме того, в верхней мантии, вероятно, можно выделить несколько областей, из которых нижние отличаются меньшими значениями Q. Кнопов [3] предложил следующую модель для разреза значений Q, которая приемлемо согласуется с данными: от 0 до 325 км Q = 120, от 325 до 650 км Q = 75, от 650 до 2900 км Q = ∞. Точность имеющихся данных недостаточна для более точных оценок. Различие между Q = ∞ и Q = 1450 (величина, получаемая для нижней мантии по данным объемных волн) несущественно при достигнутом уровне точности, поскольку фактически сопоставляются обратные значения этих величин.
Параметры затухания при свободных колебаниях измерялись для тех землетрясений, которые достаточно сильны, чтобы вызвать в Земле резонансные свободные колебания заметной амплитуды. Известны две основные методики определения этих параметров. Согласно одной из них, производится спектральный анализ колебаний, после чего Q определяется из соотношения Q = ω/Δω, где Δω — ширина спектра на уровне половины энергии, а ω — соответствующая частота. При другой методике запись колебаний подразделяется на несколько частей и спектральный анализ проводится для каждой из них. Коэффициент затухания при этом получается непосредственно но спаду энергии от одной частоты к другой.
В литературе приводятся данные о значениях Q для сфероидальных колебаний 0S0, 0S2, 0S3, 0S9, 0S12 и чисто крутильных колебаний 0Т2, 0Т3 и 0Т5. Сводка соответствующих значений приведена у Кнонова [3]. Гилберт и Баккус [2] отмечают, что ввиду расщепления спектра колебаний, вызываемого вращением Земли, измерения значений Q для сфероидальных гармоник четвертого порядка и выше осложняются. Дело в том, что расщепившиеся спектры каждой из гармоник расширяются в соответствии со своим значением Q, вызывая взаимное перекрытие частот. В этих условиях измерение кажущейся ширины спектра не позволяет оцепить величину Q, соответствующую данной частоте, так как мы не можем разделить частоты разных гармоник. Аналогичные затруднения связаны с измерением затухания по второй методике. В этом случае колебания стоячей волны фактически вращаются относительно пункта наблюдения вследствие вращения Земли. Поэтому изменения наблюдаемой амплитуды могут быть обусловлены какими-либо иными факторами, а не затуханием, особенно если пункт наблюдения находится неподалеку от нодальной поверхности волны. В результате значение Q будет определено неверно. Фактически после перехода нодальной поверхности через пункт наблюдения кажущаяся амплитуда волны будет возрастать.
Следует отметить, что значения Q, определяемые при наблюдении стоячих и распространяющихся волн, не идентичны, особенно в рассеивающей среде, какою является Земля. При наблюдении стоячих волн мы измеряем коэффициент затухания π/QT, приходящийся на единичный период, а при наблюдении распространяющихся волн — коэффициент π/QX, приходящийся на единичную длину волны. Эти два вида коэффициентов относятся друг к другу как фазовая скорость с и групповая скорость U, т. е.
При сопоставлении значений Q, полученных при упомянутых типах наблюдений, необходимо учитывать это соотношение. Групповые скорости гармоник свободных колебаний не установлены. Поэтому предпочтительнее приводить значения Q, полученные при наблюдении распространяющихся волн, к единой основе с наблюдениями над стоячими волнами.
Укажем на некоторые области, где нужны дополнительные исследования. Значения Q, полученные до сих пор, относятся к Земле, которая обладает радиальной симметрией. У нас нет никаких данных об изменениях Q, связанных с горизонтальной неоднородностью среды. Необходимы более детальные данные о распределении Q по глубине, что позволит постичь картину изменения упругих свойств среды при возрастании глубины. До сих пор большая часть определений Q связана с наблюдениями поперечных волн; следует усовершенствовать методы расчета параметров непосредственного затухания и для волн Рэлея и сфероидальных гармоник свободных колебаний Земли. Наконец, нужно добиться надежного определения Q для коры и по наблюдениям объемных волн Р. Остается невыясненным вопрос о влиянии частичного или полного (как в земном ядре) плавления пород на параметры затухания. Лабораторные опыты показывают, что затухание в жидкостях пропорционально квадрату частоты, а в твердых телах — первой ее степени, причем механизм затухания в жидкостях скорее всего обусловлен вязкостью. Неясно, сохранится ли независимость Q от частоты при высоких давлениях и температурах в твердом теле.